‎茶の店で働き始めて茶葉に興味持ってUのお茶飲みたいって英語でなんて言うの？

①
「興味」は英語で interestと言います。
「興味を持って」は「興味になる」と意味だから　"become interested in..."で表現できます。
例えば：
「ラグビーに興味を持つ」→　Become interested in rugby.
「最近映画に興味を持つことになった」→ recently I have become interested in movies.

②
「○○して始めて」は英語で　「starting○○」の形で表せます。
「茶の店で働き始めて」→　Starting work at a tea shop.

③
「Uのお茶飲みたい」は「あなたのお茶を飲みたい」の意味で「I want to drink some of your tea」になります。

全部まとめて：
「茶の店で働き始めて茶葉に興味持ってUのお茶飲みたい」
→　I became interested in tea leaves after starting work at a tea shop, so I want to try some of your tea.

もっと自然の英語に言い換えたら：
I want to try some of your tea after becoming interested in tea leaves since starting work at a tea shop.

ご参考になれば幸いです。

1) ‘私は茶のお店で働いて以来紅茶に興味を持ち始めました‘
started to ~ ~をし始めた、〜するのを始めた
be interest 興味を持つ　
English tea 紅茶←ちなみに、日本のお茶は、green tea とかJapanese green tea とか言われています^ ^
since ~以来　
tea shop お茶(を提供している)のお店

2)’お茶に興味を持ち始めて以来ずっとあなたのお茶のお店に行きたかった‘
ever since それ以来ずっと、その後ずっと　← sinceも〜以来　という意味ですが、ever をつけると　’ずっと‘　という意味を強調することができます