I put the package beside my niece's bed quietly, so she's still asleep.
状況がわからないのですが、まずは言葉のままに訳したいと思います。
I put the package beside my niece's bed quietly, so she's still asleep.
姪のベッドの隣に静かに荷物を置いたので、彼女はまだ眠ったままです。
クリスマスシーズンなので、もしかしたらプレゼントのことでしょうか?
その場合は present や box(箱)などの方がいいと思います。package はまさに荷物です。特に郵便で来た小包などのイメージが強いと思います。
英語では「枕元」という言い方はあまりせず、bedside や beside the bed が自然だと思います。ベッドの脇に置かれたサイドテーブルに置くようなイメージです。本当に枕の横に置くような場合は next to the pillow と言ってもいいと思います。
「そっと」というのを「音を立てないように」「静かに」という意味でquietly を使いました。文脈次第では slowly 「ゆっくり」や softly 「やんわりと、そっと」、gently 「優しく」などの方がいい場合もあると思います。