独占欲って英語でなんて言うの？

「独占欲」というなら
desire to keep someone to oneself （誰かを独占する願望）
のように言えますが、恋愛関係での独占欲は possessive を使ってよく言います。

例：
He's really possessive about his girlfriend, he needs to know where she is all the time.
「彼は彼女に対して本当に独占欲が強いんだ。彼女がいつもどこにいるか知っていないと気がすまない。」

She's very possessive towards her boyfriend, she doesn't like it when he spends time with any of his friends.
「彼女は彼氏に対する独占欲が強いから、彼がどの友達と出かけるのも気にくわない。」

このように
He's really possessive about his girlfriend
She's very possessive towards her boyfriend
のように言えます。

ご参考まで！

近いもので possessive という言葉があります。possess は「所有する」「持つ」「（感情が）取りつく」という意味なので、正確に言えば「所有欲が強い」です。名詞にしたい場合は possessiveness があります。

She's a very possessive woman.
彼女はとても独占欲が強い女性だ。

He's terribly possessive about his things.
彼は自分のものに対して異常に所有欲が強い。（誰にも触らせないなど）

例えば possessive pronouns というと所有代名詞（mine, yours, his, hersなど）possessive determiners は所有限定詞(my, your, his, herなど）です。関連づけて覚えておくと便利です。