回答
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Please write your name in your things.
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Please write your name on your things.
「in」は、たとえばシャツの裏側に名前を書き込むような場合に使用します。「on」はお弁当箱など、表面に名前を書き込む場合に使用します。
お役に立てれば幸いです。
回答
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Write down your name on your belongings
直訳で
あなたの持ち物に名前を書きなさい。
Belongings; 所有物、持ち物
Belongingがわからなければ
Your stuff/your items :あなたのもの
と言ってもいいかもしれません。