A cancellation fee will occur after the first week from the date the reservation was made
これは予約から一週間後からと言う認識で合っているのなら上記の様に表現できますね。
最初の例文は簡潔に"一週間後からキャンセル料がかかります"となります。こちらの例では「after」で"後"と表し「week」で"一週間"と言い表してます。"キャンセル料"は「cancellation fee」となります。
次の例文はもう少し詳細に"予約を入れた日から一週間経った後キャンセル料が発生します"となります。こちらの例では「date the reservation was made」で"予約を入れた日"または"予約した日"、"発生"は「occur」で表現しています。
アメリカ合衆国 
