残念ながらスクーズというのが何か分からず、もしかしたらスクイーズ（握ったりして遊ぶ柔らかいおもちゃ）かなと思ったので、とりあえずそれで回答してみます。
My daughter asked me to buy a squeeze toy.
娘がスクイーズを買って欲しいと私にお願いしてきました。
ask を使うとおねだりになります。あくまでお願いしている状態なので、実際に買ったのかどうかまでは述べていません。
My daughter forced me to buy a squeeze toy.
娘がスクイーズを買うことを私に強要しました。
forceはスターウォーズのフォースでおなじみだと思いますが、「力」や「強さ」です。名詞の他に動詞もあり、それを使うと「強いて〜させる」という表現にすることができます。
こちらも同じく買ったかどうかまで言ってないのですが、but I didn't「それでもしなかった」と入らない限りは実行されたのだろうと判断する人が多いと思います。
My daughter made me buy a squeeze toy.
娘は私にスクイーズを買わせました。
これは娘さんに言われて買ってあげた状態のことを話しています。
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