I began looking for a new job around early January.
I began transferring jobs around early January.
ご質問ありがとうございます。
「1月の上旬」＝「early January」
「転職活動」＝「looking for a new job」や「transferring jobs」
「始める」＝「begin」
このような表現はよく使われていると思います。しかし「転職活動」の使い方は英語でちょっと難しいです。
就職活動というニュアンスの場合では、「looking for a new job」と翻訳は一番いいです。その一方で、もう仕事を見つけたので転職するための活動をやっている場合では、「transferring jobs」となります。
状況次第でふさわしい胃翻訳を使ってみてください。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
