カードを入れる、出すって英語でなんて言うの？

この場合は「入れる」は英語で put in もしくは insert と言います。「出す」が remove になります。

カードを入れる - insert a/the card
カートを出す - remove a/the card

まずカートを入れます。そして、カードを出してからドアが開きます。First insert the card. After you remove/After you've removed the card, the door will open.

Put in の場合は the を忘れないでください。Put the card in/ Put in the card, then remove the card and the door will open.