「糸がほつれる」は
the thread came undone
のように言えます。
thread は「糸」
come undone「解ける・ほころぶ」
例:
I bought a cheap blouse and after washing it just two or three times, the thread on one of the buttons came undone.
「安いブラウスを買って、2〜3回洗っただけで、ボタンの糸がほつけた。」
または unravel「解ける」を使っても表現できます。
例:
The stitching around the hem on my new shirt started to unravel before I even wore it.
「まだ一度も着ていないのに、新しいシャツの縁の縫い目がほつれてきている。」
stitching で「縫い目」
hem で「衣類のヘム・折り返し・縁」