"承認が終わり次第" は「As soon as the approval is finished」と表現できますね。"承認"は「approval」となり"○○が終わり次第"は「As soon as ○○ is finished」と言い表してます。「finished」の他にも「over」で"終えたら"とも表現できます。
続く例文は"○○の承認が終わり次第進めていいですか？"になります。"進める"は「proceed」で表しています。
ご質問ありがとうございます。
「[承認](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/62107/)が終わり次第」は英語で「Once it gets approved」と言います。
また、「〇〇さんの承認が終わり次第、手続きを進めていただけますか」と言いたいなら、そうすると「Once it gets approved by ○○, would it be ok to advance to the next procedure?」になります。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
