I'm really busy right now, but I will come get it as soon as I can.
I'll do my best to pick it up as soon as possible.
I'll get it from you the first chance I get.
どの例文もいつ取りに行くかはわからないけどなるべく早く取りに行くというニュアンスです。
ーI'm really busy right now, but I will come get it as soon as I can.
「今すごい忙しいんだけど、できるだけ早く取りにいきます。」
come get ... 「…を取りに行く」
as soon as I can「できるだけ早く」
ーI'll do my best to pick it up as soon as possible.
「できるだけ早く取り行けるようなんとかします。」
do one's best で「最善を尽くす・精一杯頑張る・なんとかする」
pick up で「拾う・受け取る」
as soon as possible で「できるだけ早く」
ーI'll get it from you the first chance I get.
「できるだけ早く受け取りに行きます。」
the first chance I get は直訳すると「最初の機会・チャンスを得たら」となり「できるだけ早く」というニュアンスで使えます。
ご参考まで！
カナダ 
