髪の毛の広がりを抑えるって英語でなんて言うの？

「髪の毛の広がりを抑える」は私なら簡単に
fix one's hair といいます。髪を直すということは、寝癖だったり、広がってたり、いろんな意味で使えますから便利です。
もう少し詳しく言いたいなら、
to fix my hair so it doesn't stand up anymore
「髪が立たないよう直す」
のように言えます。

例：
My bangs are too puffy when I wake up in the morning and it takes time to fix them.
「朝起きると前髪が爆発してて直すのに時間がかかる。」
bangs「前髪」
puffy は「ふくれた・膨らんだ」という意味なので、too puffy で「ふくれすぎている」＝「爆発している」のように言えますね。

ご参考まで！