with の文は間違えません。
Life with Japanese products =
日本製品との暮らし・日本製品がある暮らし
with Japanese products と言うと日本製品はあると言う意味ですが使っているかどうかは実はわかりません。普段に使っていると思いますが、それをはっきり伝えたかったら "using" と言うのが良いです。
Life using Japanese products =
日本製品を使った暮らし
・Life with Japanese products
「日本製品を使った暮らし」
Life(暮らし・生活)に with Japanese products(日本製品とともに)を繋げることで、「日常の中に日本製品が存在する暮らし」を表せます。
・Living with Japanese products
「日本製品を使った暮らし(生活すること)」を意味するフレーズです。