自分に負けたくないって英語でなんて言うの？

I do not want to lose to myself. = 自分には負けたくない（シンプルな言い方です、直訳です）

My greatest enemy is myself, I will not fail. = 自分の最大の敵は自分、私は負けない。
My greatest enemy = 自分の最大の敵
I will not fail. = 私は負けない。私はあきらめない。

小声で自分を応援するときはyou can do itを連呼するのもいいですよ。自分はレスリングのスパーリング前にはyou can do itを頭の中で言いまくってます。

自分に負けたくないを直訳せずに、あえて積極的に自分に打ち克つぞというニュアンスの表現にしてみました。

頑張る自分に向けて独り言のような場面を想像しましたので、
前向きな言葉の方が元気でそうですしね。