たまたま予約枠が空いていたので、予約しましたって英語でなんて言うの？

1)’たまたま先生のレッスンを予約することができました‘
たまたま、偶然にも　は、by chance で表現できます, 意図していなかったけれど、できた(それが起こった)というニュアンスです
to book 予約する
be able to ~ ~することができる

2)‘私が朝に見た時は全部予約で埋まっていたので、あなたのレッスンを予約できたのは幸運だったよ’
たまたま　ある事が良き方向に起こったときに、lucky を使ってよく表現されます→ それは(起こって)ラッキーだったよ、運がよかったよ
fully booked fully は,
完全に、十分に　という意味で、全部予約で埋まった　となります

ご質問ありがとうございます。

"In the late afternoon, I happened to see that you had an empty slot in your lesson schedule,"＝「夕方、あなたのレッスンスケジュールに一つ枠が空いているのをたまたま見ました。」

"although it was fully booked this morning."＝「今朝は完全に埋まっていたのに。」

"I thought luck was on my side as I booked it."＝「今日は運がいい、と思いながら予約しました。」

ご参考に。