I'll just quickly rinse the cup with water, because there is some milk in it
"I'll just quickly rinse the cup"=「ササっとコップを水でリンスするね」
"with water"＝「水で」
"because there is some milk in it"＝「そこに少し牛乳が入っているから」
"rinse the cup with water"のバリエーションとして"Rinse out the cup with water"というふうに"out"を付けても良いです。("out"をいれると、残っているものを水で完全に流し落とす、というニュアンスがあります）
Let me give it a quick rinse first because there's a little milk left in your cup.
この場合、次のような言い方ができます。
ーLet me give it a quick rinse first because there's a little milk left in your cup.
「コップにミルクがちょっと残ってるから、さっと水でゆすがせて」
to give it a quick rinse で「さっと水でゆすぐ」
ご参考まで！
I'll just rinse the cup quickly because there's a little milk left.
こんにちは！ ご質問ありがとうございます。
ご質問のシチュエーションにぴったりな表現として、
I'll just rinse the cup quickly because there's a little milk left.
「少し牛乳が残っているから、ささっとコップをゆすぐね。」
他にも以下のように言うことができます：
Let me rinse the cup quickly; there's a bit of milk left.
I'll give the cup a quick rinse since it has some milk in it.
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