この両方の言い方は「わざとじゃないんだ！信じてよ！」ということを表現できます。
on purpose は（わざと）という意味になり、その逆のことは it wasn't/I didn't で言えます。
「誤解を招いてしまった時に」という部分は when I caused a misunderstanding が言い方となります。
参考になれば幸いです。
I didn't do that intentionally. I hope you believe me.
I did that by mistake. I hope you know I'm telling the truth.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI didn't do that intentionally. I hope you believe me.
「わざとじゃないよ。信じてよ」
to do XX intentionally で「XXをわざとする」
ーI did that by mistake. I hope you know I'm telling the truth.
「間違ってやっちゃんたんだ。信じてくれるよね」
to do xx by mistake で「誤ってXXをする」＝「わざとじゃない」
ご参考まで！
オーストラリア 
カナダ 
