こういう場合は「lets compete to see who can make it better」で"どちらがより上手く作れるか勝負しよう"と言えますね。こちらの例では「compete」で"競う、勝負する"と表し「better」で"より良く、上手く"と言い表しています。
次の例文はそちらの挙げた例に添うように"だれがより美味しいハンバーガーを作れるか見てみよう"と言う表現になりますね。
We should have a little competition to see who can whip up the best hamburger.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーWe should see who's better at making hamburgers.
「どっちがハンバーガー作るの上手か確かめてみないとね」
ーWe should have a little competition to see who can whip up the best hamburger.
「どっちがベストハンバーガーを作れるか、ちょっと競わないとね」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
