The amount of cars travelling on roads has begun increasing.
この訳の最後の begun は「きてる」のような役割があります。
直訳しますと（始めた）という意味になりますが、（最近何かが起こった）ということに対して使われています。
「最近、外出自粛が出される前と比べて道路を走るクルマの量が増えてきている」というのは Recently, in comparison to before the stay at home request was issued, the amount of cars driving on roads has begun increasing と表現できます。
参考になれば幸いです。
The number of cars on the road has been increasing.
こんにちは。
様々な表現の仕方があると思いますが、例えば下記のような言い方はいかがでしょうか：
・We are seeing more and more cars on the road.
道路を走る車がどんどん増えてきています。
・The number of cars on the road has been increasing.
道路を走る車の数が増えています。
more and more は「ますます多くの」といったニュアンスの表現です。
increase は「増える」という意味です。
ぜひ参考にしてください。
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