I asked the car company to change all the tires while they’re doing the inspection.
I requested the car manufacturer to change all four tires at the same time as the inspection.
こちらの例文では、「自動車工場」はcar companyやcar manufacturerといいます。
ちなみに、「メーカー」は英語でmakerではなく、manufacturerとなります。
「車検に合わせて」はこのように訳しました:
while they're doing the inspection = 車検をしながら
at the same time as the inspection = 車検と同時に
「4本のタイヤ交換を依頼しました」というのは、change all four tiresまたはchange all the tiresになります。