急に気になりだしたって英語でなんて言うの？

そちらの挙げた例はだいたい合っていますがひとつ直す箇所は「to be~」ではなく「to become~」となりますね。 こちらの挙げた例では「I have a sudden interest in~」で"○○に急な興味が沸いた"と表していますね。"急"は「sudden」で表し"興味"は「interest」となります。 次の例は代わって"最近○○に興味ができました"となりますね。こちらでは「lately」で"最近"と言い表しています。