～するといけないから は not to～やso that vegetables won't spoil
または just in case や in case vegetables won't spoil など,どれでも使えますか？
また、～しよう はWe 'll Let's の他にどのような言い方ができますか？
Why don't we drop by our house so that we won't spoil the veggies.
訳: 野菜を腐らせないように、ちょっと家に寄りません？
Spoilは
自動詞:腐る、いたむ
他動詞:腐らせる、いたませる
となるので、
主語を野菜に置くMasumiさんの言い方でも、上記のように、意味上の主語をWeにしてもそのまま使えます。
ーしよう、しませんか？
はwhy don't we...? が良いと思います。
Just In caseはこれだけで「念のため」という意味になりますので、この場合、回答例を言い終わった後につけると好ましいです。
In caseは「-の場合に備えて」という意味なので、in case vegetables won't spoilとすると、「野菜が腐らない場合に備えて」と意味が反対になってしまうために、不適です。
In caseの代わりにso thatを使うと良いです。
Let's go to our house first so that the veggies won't spoil.
So thatには、「そうすれば」という意味があるので
先に家に行きましょう、そうすれば野菜も腐らないし。
と意味がまとまります。
"I should go home first to put the vegetables in the fridge so they don't spoil, then I can go out."
「野菜が腐るといけないからいったん家に帰って冷蔵庫に入れてから出かけようっか」という日本語のフレーズを英語に翻訳すると "I should go home first to put the vegetables in the fridge so they don't spoil, then I can go out" となります。
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