～しないように・・・するって英語でなんて言うの？

「〜しないように…する」は内容にもよりますが
do ... so you don't 〜
do ... to avoid 〜ing
do ... without 〜ing
のように表現できます。

例：
You have to be careful driving so you don't get into an accident.
「事故に遭わないように気をつけて運転しなければいけない。」
get into an accident で「事故に遭う」

Sneak up on someone without making any sounds.
「音を立てないように誰かに近づく」
sneak up on で「こっそり近づく」

ご参考まで！

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されているので、ここでは他の例を挙げてみます。

I drive carefully to avoid getting into an accident.
「私は事故を起こさないように気を付けて運転する」

I approach quietly to make sure not to make any noise.
「私は音をたてないように近づく」
と表現できます。

参考になれば幸いです。