しないようにするって英語でなんて言うの？
「〜しないようにする」の言い方。例：寝坊しないようにする、遅刻しないようにする
回答
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try not to ...
「〜しないようにする」は try not to ... を使っていえます。
例：
We should try not to oversleep tomorrow because we need to get an early start.
「明日は早めに出発するから、寝坊しないようにしないと。」
try not to oversleep で「寝坊しないようにする」
I'll try my best not to be late again tomorrow.
「明日もまた遅刻しないように気をつけないと。」
try my best not to be late 「遅刻しないように頑張る」
ご参考まで！
回答
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won't 〜
状況によって言い方が変わる可能性があります。
Next time, I won't be late.
次は遅刻しないよ。
I'll never be late again.
もう二度と遅刻しないよ。
正確には try not to が「しないようにする」だと思いますが、will や will not (won't) の未来形を使うことで、絶対にしないという決意の表れになります。
I'll try not to be late next time.
次は遅刻しないようにするよ。（するかもしれないけど、最善を尽くすという風に聞こえる）
「寝坊する」は oversleep などの表現がありますが、今回のような場合は「時間通りに起きる」の方がしっくりくると思います。
I promise I will wake up on time tomorrow.
明日は時間通りに起きることを約束するよ。
回答
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avoid+～ing
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try not to～
avoid+～ing＝「～することを避ける・～しないようにする」
try not to～＝「～しないように試みる・～しないようにする」
How can I avoid being late for school?
「どうしたら遅刻しないようにできますか？」（遅刻することを避けられますか）
I’ll try not to be late for school from tomorrow.
「明日から遅刻しないようにします」（遅刻しないよう試みます）
How can I avoid oversleeping?
「どうやったら寝過ごさないようにできますか？」
I’ll try not to oversleep from tomorrow.
「明日から寝坊しないようにします」（寝坊しないよう試みます）
ご参考まで
カナダ 
日本 
