I would like to do my job-hunting with a positive spirit.
ご質問ありがとうございます。
"I would like to"＝「私は～をしたいです」
"do my job-hunting"＝「私の就活を」
"with a positive spirit."＝「意欲的に」
（☆直訳すると「ポジティブな心で」になります）
☆"positive spirit"以外に"enthusiastically"＝「熱心に」も考えられます。
例文："During my study, I would like to also do my job-hunting with a positive spirit."
ご参考になると良いです！
I'll try my best to keep an eye on the job market.
この場合は下のように言うのが自然で良いかなと思います。
ーI will make every effort to seek employment.
「就職口を探すためにあらゆる努力をします。」
make every effort to... で「〜するためにあらゆる（最大限の）努力をする」
seek employment で「職を求める・就職口を探す」
ーI'll try my best to keep an eye on the job market.
「求人市場から目を話さないように努力します。」
keep an eye on で「〜から目を離さない・〜に注意を払う」
job market で「求人市場・就職市場」
ご参考まで！
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