ご質問ありがとうございます。
「日本語と英語の両方で」=「in both Japanese and English」
「メッセージしたい」=「(I) want to message」や「(I) want to talk」
このフレーズの「メッセージしたい」はもちろん「I want to message」と言えますが、「I want to talk」の方がよく使われます。SNSだからこそ、「メッセージする」というニュアンスが既にします。
例文:
To improve my vocabulary, I want to talk in both Japanese and English. Is that okay with you?
語学力を高めるために、日本語と英語の両方でメッセージ交換をしたいです。よろしいですか?
ご参考になれば幸いです。
I'd like to exchange messages with each other both in English and Japanese.
I'd like to message both in English and Japanese.
I'd like to exchange messages with each other both in English and Japanese.
直訳すると、お互いのメッセージ交換を英語と日本語両方でやりたいのですが、となります。
もっと、カジュアルに表現するば、
I'd like to message both in English and Japanese.となります。
messageは名詞として頻繁に使われますが、動詞としても頻繁に用います。特に電子メールに使用します。