ご質問ありがとうございます。
日本語の「ウォーキングをする」は"go for a walk"、又は"take a walk"というフレーズがよく使われます。
従って、"I would like to wake up early to do walking in the morning."—→ "I wake up early to go for a walk in the morning."
文法的に"to do walking"は間違ってはいませんが、あまり使われるフレーズではありません。
"would like to"は「~をしたい」という意味なので、「~をする」の場合は"I wake up"(I would like to wake upではなく)にします。
ご参考に!