ご質問ありがとうございます。
日本語の「ウォーキングをする」は"go for a walk"、又は"take a walk"というフレーズがよく使われます。
従って、"I would like to wake up early to do walking in the morning."—→ "I wake up early to go for a walk in the morning."
文法的に"to do walking"は間違ってはいませんが、あまり使われるフレーズではありません。
"would like to"は「～をしたい」という意味なので、「～をする」の場合は"I wake up"（I would like to wake upではなく）にします。
ご参考に！
- "I wake up early to go for a walk."
- "I get up early in the morning to walk."
- "I wake up early to take a morning walk."
「ウォーキング」は **walking** ではなく、一般的には **take a walk** や **go for a walk** という表現がよく使われます。**walk** だけでも十分伝わります。
・I get up early in the morning to go for a walk.
『朝早く起きてウォーキング（散歩）に行きます。』
・I wake up early to go walking.
『ウォーキングをするために早く目が覚めます／起きます。』
I'm trying to get up early every morning so I can go for a brisk walk.
（手早く歩くウォーキングをするために、毎朝早起きしようと頑張っています）
と brisk walk（早歩き・活発なウォーキング）などの言葉を加えて説明するのも、健康的なニュアンスが増しておすすめの表現です。
アメリカ合衆国 
