全部よくある運動会・体育祭の競技ですね。
「大玉おくり」意外、実際に日本の体育祭で見たことがありますので、英訳できると思います。
調べたら、「大玉おくり」は大きなボールを転がして競走する種目だとわかりました。
これは「Ball Rolling Race」でいかがでしょうか。
「Ball」はもちろん「ボール・玉」という意味で、「rolling」は「転がしている」という意味です。
「大」という意味を入れたいなら、「Large Ball Rolling Race」にすればいいと思います。
「色別対抗リレー」は「Color Team Relay」でどうでしょうか。
「リレー」は英語からの外来語で、英語での綴りは「relay」です。
「台風の目」は「Eye of the Storm」にしたらいいと思います。
これにしても、初めて聞いて見る人にはどんな種目かは伝わりませんから、説明が必要ですが、言葉の響きを考えると「Eye of the Storm」がいいです。
「借り物競走」は辞書に載っている英語があります。
「Scavenger Hunt」です。
アメリカ合衆国 
