お客さんがたくさんきて、バイトつかれたって英語でなんて言うの？

ご質問ありがとうございます。

まず、「疲れた」というのは

I'm tired. / I'm exhausted.
「（私は）疲れている」

と表現することができます。

その後に理由をつけて

(since) we had so many customers at work.
「仕事場に多くのお客さんが来たので」

また、バイト先がレストランであるならば

(as) a lot of customers came to our restaurant.
「たくさんのお客さんが（私が働いている）レストランに来たので」

と表現することができます。

ご参考になれば幸いです。