（猫が）自由気ままな性格、自由奔放な性格　って英語でなんて言うの？

My cat is free-spirited and spontaneous.
He's not selfish, but he doesn't care about anything and only does what he wants to do.
（私の猫は、自由気ままで自由奔放です。わがままではないけれど、何も気にせずに自分のやりやいことしかしません。）

free-spiritedで「自由奔放」、spontaneousは「自由な性格」という感じです。spontaneousは「思い立ったときにやる」というような、突然フラッとどこかに行ってしまう人にも使います。
「わがまま」はselfishですね。

参考になれば幸いです。

前のアンカーの方も回答してらっしゃる通り、「自由奔放」の最適な訳は
free-spiritedだと思います(^_^)
My cat is really free-spirited.
「うちの猫は本当に自由奔放です」

この表現は、「自由人」の訳としてもよく使われます。
He is free-spirited.
「彼は自由人だ、自由奔放な性格だ」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

★★大阪カフェレッスン英会話講師　KOGACHI