そうです、tearsは「涙」と意味する複数形の名詞です。moved to tearsは「感動で泣いた」という意味の固定表現です。なので、「感動して泣いた」と言いたいときは、I was moved to tears.と表現するのが一般的です。
例文
That movie moved me to tears.
あの映画で感動して泣いた。
She was moved to tears by the letter her parents wrote her for her birthday.
彼女は、自分の誕生日に親が書いた手紙に感動して泣いた。
また、名詞ではなく動詞で表現するなら、I was so moved that I cried.（感動のあまりに泣いた。）という表現の仕方もあります。
例文
I was so moved by that movie that I cried.
あの映画で感動したあまりに泣いた。
She was so moved by her parents' letter that she cried.
彼女は親からの手紙で感動のあまりに泣いた。
I was moved to tears.
It moved me to tears.
I was so touched that I cried.
I cried because I was so moved.
「感動して泣いた」は英語だと、I was moved to tears. がとても定番で自然です。少しかためで、きれいな言い方（文章でも会話でもOK）です。もっと会話っぽく言うなら I was so touched that I cried. や It made me cry. もよく使います。
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