Will you drive a lot today?は普通に自然な表現です!
haveの入っている表現は思い浮かびませんね。。
will you~?の代わりにare you going to~もこの場合で使えます。
例えば、
Are you going to drive a lot today?になります。
個人的にAre you going to drive a lot today?を言いますが、
Will you drive a lot today?が耳に入ったら全然おかしく感じないです。
ご参考になれば幸いです!
この場合は、近い未来のことを聞いているので Will you ~? ではなく Are you going to ~? を使います。
ーAre you going to drive a lot today?
「今日はたくさん運転するの?」
ーAre you planning to do a lot of driving today?
「今日はたくさん運転する予定?」
このようにも言えますよ。
ご参考まで!
Are you driving a lot today?
これが一番シンプルで自然です。
「今日は(予定として)運転する感じ?」という軽い確認になります。
today が入るので、今日のスケジュールの話だと伝わります。
Do you have a lot of driving to do today?
これは “have” を使った言い方で、かなりネイティブっぽいです。
a lot of driving to do(やるべき運転がたくさんある)=「運転の用事が多い」というニュアンスになります。