Will you drive a lot today?は普通に自然な表現です!
haveの入っている表現は思い浮かびませんね。。
will you~?の代わりにare you going to~もこの場合で使えます。
例えば、
Are you going to drive a lot today?になります。
個人的にAre you going to drive a lot today?を言いますが、
Will you drive a lot today?が耳に入ったら全然おかしく感じないです。
ご参考になれば幸いです!
この場合は、近い未来のことを聞いているので Will you ~? ではなく Are you going to ~? を使います。
ーAre you going to drive a lot today?
「今日はたくさん運転するの?」
ーAre you planning to do a lot of driving today?
「今日はたくさん運転する予定?」
このようにも言えますよ。
ご参考まで!