今日はたくさん運転するの？って英語でなんて言うの？

Will you drive a lot today?は普通に自然な表現です！
haveの入っている表現は思い浮かびませんね。。

will you~?の代わりにare you going to~もこの場合で使えます。
例えば、
Are you going to drive a lot today?になります。
個人的にAre you going to drive a lot today?を言いますが、
Will you drive a lot today?が耳に入ったら全然おかしく感じないです。

ご参考になれば幸いです！

ご質問ありがとうございます。

どんな場面と状態で聞いているか次第、最もふさわしい英語が変わりますでも、一般的にMomo様の疑問文は当てて、自然に使えると思います。後は他の疑問文を二つ提案しております。

2番目の回答は「今日はたくさん運転する必要がある？」の英訳です。
3番目は「今日どれぐらい運転するの？」の英訳です。

ご参考いただければ幸いです。

この場合は、近い未来のことを聞いているので Will you ~? ではなく Are you going to ~? を使います。

ーAre you going to drive a lot today?
「今日はたくさん運転するの？」

ーAre you planning to do a lot of driving today?
「今日はたくさん運転する予定？」
このようにも言えますよ。

ご参考まで！