この場合、次のように言うと良いでしょう。
ーLet me just finish typing (in) my name.
直訳すると「私に名前を入力し終えさせて」となり、「今入力するからちょっと待って」というニュアンスです。
ーJust give me a second to finish typing my name.
「名前タイプするからちょっと待って」
ご参考まで！
I'll write it, just give me a moment.
「書きますので、少しだけ待ってください」
→ 丁寧で自然な言い方です。
I'll type it, just a second.
「今入力します、ちょっと待ってください」
Hang on, I'm writing it now.
「ちょっと待って、今書いてます」
カナダ 
アメリカ合衆国 
