「爪を伸ばしたいけど、ピアノが弾けなくなるからダメだ」って英語でなんて言うの？

「爪を伸ばす」は grow one's nails longで合っています。

Otherwiseは「さもなければ」という意味です。
言いやすくするために2文に分けました。

英訳１：「爪を伸ばしたけど、できません。なぜならピアノを弾くからです」が直訳。
grow one's nails outは「爪を伸ばす」という意味になります。「髪の毛」でも同様で、grow one's hair out でOKです。

英訳２：「長い爪がほしいんだけど、できません。なぜならピアノを弾くのが難しくなるからです」が直訳。

なお、ライティングのときはbutの前にはカンマが必要で、becauseの前は不要だという点にも注意しましょう。

grow one's nailsでばっちりです。

もし伸ばしたらーという仮定の意味がwouldに含まれます。