こうするしかなかったんだ。すべて私の責任だ。許してほしい。って英語でなんて言うの？

There is no other way.

他の道がない。

といいう意味からどうしようもない、というニュアンスで
それの過去形

There was no other way.

で、こうするしかなかった、という意味になります。

I'll take full responsibility.
全責任は取る。

Forgive me.
許してくれ。

後半はそのままですが。

何があったかわかりませんが、やっかいなことにならないことを祈っております…。

I had no choiceの直訳は、「私には選択肢がなかった」です。なにかをする以外、自分に「選択の余地やほかに手がなかった」ということを伝えたいときに、よく使うフレーズです。

I really didn't want to tell her that she's incompetent at her job, but I had no choice.
私は彼女に、彼女がその仕事をする能力がないということを本当は言いたくなかったが、仕方がなかった。

It's all my faultは、「これは全部私の所為だ」のような意味になります。
faultは、「原因」や「責任」などの意味です。これは、It's not your fault「あなたは悪くない」や「あなたの所為じゃない」などのように、否定文に使われることが多いです。

Don't worry. Everyone knows it's not your fault.
心配しないで。君の所為じゃないってみんなわかってるよ。

Please forgive meは、「私を許して」です。