ドラマ始まったよ！って英語でなんて言うの？

Hey, the show's just started!
すでに何のドラマについての話かお互いにわかっている
状況だと思いますので、”the show”としましたが、
"the show I recommended you"ですね。

”〜has just started”は「たった今始まったよ〜」という感じのニュアンスです！

指示は具体的にした方がいいかと思いますので、

Turn to channel 5. You gotta watch this.
５チャンネルをつけて。見逃しちゃダメだよ。

このような感じで、チャンネルを教えてあげた方がいいかもしれません。

この場合、次のような言い方ができますよ。

ご質問の通りに言うと、次のように言えます。
ーThe drama started.
「ドラマ始まったよ」

次のように言うのも自然ですよ。
ーAre you watching the drama I like? It just started.
「私の好きなドラマ見てる？さっき始まったよ」

ご参考まで！