Hey, the show's just started!
すでに何のドラマについての話かお互いにわかっている
状況だと思いますので、”the show”としましたが、
"the show I recommended you"ですね。
”〜has just started”は「たった今始まったよ〜」という感じのニュアンスです!
Are you watching the drama I like? It just started.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ご質問の通りに言うと、次のように言えます。
ーThe drama started.
「ドラマ始まったよ」
次のように言うのも自然ですよ。
ーAre you watching the drama I like? It just started.
「私の好きなドラマ見てる?さっき始まったよ」
ご参考まで!