your dad と your fatherはほぼ同じです。
Dad が少しカジュアルで father の方がフォーマルです。
例えば、自分の父が別の部屋に居て、来てほしい時は Dad, can you come here, please? は言いますが、 Father, can you come here please? はとても変です。堅苦しすぎます。
シチュエーションが分かりませんが a dad in your life / a father in your life は言わないと思います。どちらも不自然です。
Every child should have a father/dad/father figure in their life なら言います。
上記に書かれているように dad は少しカジュアルで、father は少しフォーマルです。
Father figure - 父親代わり
友達同士で - How's your dad doing? / How's your father doing? ((あなたの)お父さん元気?)
知らない人にも、カジュアルな場面だったら dad でも大丈夫です。
Dad/Daddy - パパ、お父さん
Father - 父、父親、父上、お父様
ご質問ありがとうございます。
・「Your father」
(意味)あなたの父親
<例文> How's your father doing?// He's doing really well but he's been busy with work these days.
<訳>お父さんは元気? // とても元気ですが、最近は仕事が忙しいみたいです。
参考になれば幸いです。