"俺は俺を諦めない"
- I'm not going to stop being me. (直訳、意味はほぼ同じ)
- I'm not going to quit on myself.
- I will not stop believing in myself.
自分を信じてあげられるのは自分だけ
- You are the only one who can completely believe in yourself.
ご質問の内容は、以下のようにも表せると思います(*^_^*)
I won't give up on improving myself.
「オレは自分を良くすることを諦めない」が直訳です。
improveは「改良する、改善する」を意味する動詞で、
improve oneselfは「自分を磨く」の訳語として使われたりすることがあります。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)