My dog is having some stomach problems, so I need the vet to examine him/her.
ご質問ありがとうございます。
Joさんの文章で問題ありません。
ちなみに、獣医はveterinarianですが、書かれていた短縮形のvetでも良いので、"."(period)は必要ありません。
"...have him checked by a vet.?"→ "...have him checked by a vet?"
一応、他の言い方も書いておきました。
"examine"が「診察する」に当たります。
ご参考に。