ご質問ありがとうございます。
「引っ越した際にアパート・電気・水道・インターネットの契約など生活基盤を整えること」は簡単に英語で「get everything necessary set up after moving in」と言えます。
上記の英文の「everything necessary」は「全ての欠かせない事」を表しますので、「アパート・電気・水道・インターネット」を含めています。
例文
A:You just moved into town! Let's hang out tomorrow!
B: I can't! I have to get everything necessary set up after moving in. Let's hang out next week.
A:この街に引っ越したばかりよね!明日遊ぼう!
B:ごめん、できない!生活のセットアップしなきゃ。来週遊ぼうね。
ご参考になれば幸いです。