ご質問ありがとうございます。
「引っ越した際にアパート・電気・水道・インターネットの契約など生活基盤を整えること」は簡単に英語で「get everything necessary set up after moving in」と言えます。
上記の英文の「everything necessary」は「全ての欠かせない事」を表しますので、「アパート・電気・水道・インターネット」を含めています。
例文
A：You just moved into town! Let's hang out tomorrow!
B: I can't! I have to get everything necessary set up after moving in. Let's hang out next week.
A：この街に引っ越したばかりよね！明日遊ぼう！
B：ごめん、できない！生活のセットアップしなきゃ。来週遊ぼうね。
ご参考になれば幸いです。
setting up my life.
『私の生活をセットアップしているところだ。』
set up は「〜を準備する」「〜を立ち上げる」という意味です。
getting settled in.
『落ち着くところだ。』
settle in は、「新しい住居や環境に慣れて落ち着く」という意味の非常に便利なフレーズです。
アメリカ合衆国 
