ーI'll eat whatever is going off first.
「最初に悪くなるものから食べるよ」＝「賞味期限の早いのから食べる」
to go off で「食品などが悪くなる」
ーI'll have whichever one needs to be eaten first.
「最初に食べる必要があるのを食べるよ」＝「賞味期限の早いのから食べる」
このような言い方もできます。
ご参考まで！
I eat the yogurt with the earliest expiration date first.
「賞味期限の早い方から食べる」は、「I eat the yogurt with the earliest expiration date first」と表現できます。ここで「the earliest expiration date」は、「最も早い賞味期限」を示します。
他の言い方としては、
"I choose the yogurt that expires soonest."（最も早く期限が切れるヨーグルトを選ぶ）
I'll eat the one that expires soonest. 『一番早く期限が切れるものを食べるよ。』
expire は「期限が切れる」という意味の動詞です。
soonest は soon（すぐに）の最上級で、「最も早く」という意味になり、「賞味期限が一番近い」ことを自然に表現できます。
the one は、質問で尋ねられている**特定のヨーグルト（もの）**を指しています。
カナダ 
アメリカ合衆国 
