自分自身が納得できるかどうかって英語でなんて言うの？

「納得できる」は色々な訳し方があると思いますが、
この場合ではto be convincedやto be satisfied with an explanation/answerを使えますね。
例えば、

彼の答えは納得できるものだった。
I was convinced by his answer (彼の説得力・勧めで納得できた）
I was satisfied by his answer (彼の答えで十分わかるようになって満足だった）

→
Whether I myself can be satisfied with an explanation or not
自分自身が納得できるかどうか
Whether I myself can be convinced or notもOKですね。

～is more important than what other people think
わたしにとっては他人からどう思われるかよりも～が大事です

「他人からどう思われるか」を直訳すると「what is thought by other people」になり、それでも通じます。

ご参考になれば幸いです！

「自分自身が納得できるかどうか」という表現は、"Whether I can satisfy myself or not." と言えます。"Satisfy myself" は「自分自身を納得させる」や「自身が満足する」という意味です。

また、「他人からどう思われるかよりも自分自身が納得できるかどうかが大事」という考え方を伝えるならば、"It's more important for me to be satisfied with myself than to worry about what others think." と表現できます。