Please take care of those mails addressed to me if they arrive.
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
『俺宛の郵便物届いたらよろしくね!』について、『よろしくどうするのか』によってもいくつか言い方が考えられますが、例えば、既に郵便物が届いたらどうしてほしいかをお願いしてある場合は、
Please take care of those mails addressed to me if they arrive.
『自分宛ての郵便物届いたらよろしくね!』と言えます
少し変えて
If you get a mail or parcel addressed to me, let me know.
『もし自分宛ての手紙や荷物が届いたら教えてね。』と言えます。
また、
Please discard those mails addressed to me if they arrive.
『もし自分宛ての手紙が届いたら処分して下さい。』とも言えます。
役立ちそうなフレーズ
take care of ~を処理する、~に対処する
参考になれば幸いです。