booger を使うなら複数形にして、次のように言うと良いでしょう。
Can you pick out the boogers in my nose?
または次のように言えます。
ーCan you clean out my nose?
「鼻の掃除してくれる？」
to clean out で「きれいにする・掃除をする」
ーCan you get the snot/yucky stuff out of my nose?
「鼻くそ・鼻汁とってくれない？」
snot や yucky stuff というと鼻汁のようにダラんと鼻から垂れたやつを言うことができます。
ーThe boogers in my nose are hard and dry, so they are hard to get out.
「鼻くそがカチカチで取れない」
hard and dry で「硬くて乾いた」
hard to get out で「取り去るのが難しい」
ご参考まで！
カナダ 
