「危うく～しかけた」というのはalmost＋動詞で表現できます(*^_^*)
例）
I almost died.
「私はあやうく死にかけた」
The company almost went bankrupt.
「会社は危うく倒産しかけた」
「契約が脱落する」という日本語が私には分からないのですが、
「失敗に終わりそうになる」という意味なら、
他のアンカーの方が回答してらっしゃるように
almost fell throughで大丈夫です。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
The big contract that I'm in charge of was almost dropped
一般的に〜almost happenedや〜nearly happenedになりますね。
例えば、
She almost drowned.
She nearly drowned.
彼女は危うく溺死しかけました。
The big contract that I'm in charge of was almost dropped (客さんや上司などが諦めるのを決めるところだった）
The big contract that I'm in charge of almost fell through (両者間にどちらが手を引くニュアンス）
危うく私が担当している大口契約が脱落しかけました。
ご参考になれば幸いです。
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