苦情対応に追われるって英語でなんて言うの？

• "handling complaints"
  "handling ~" 「〜対応に追われる」"dealing with ~" も言えます。
  "complaints" 「苦情」"customer complaints" や "customer feedback" 「お客さまの苦情」も言えます。

"Yesterday I had to deal with a sudden complaint from a customer."
「昨日は突然のお客さまからの苦情対応に追われておりました。」