「〜しておいで」は英語で次のような言い方ができます。
ーGo ~ing
ーWhy don't you ~ing?
例：
My husband told me to go out for lunch with my friends and he would watch our kids.
「夫が子どもたちを見てるから、友達とランチに行っておいでと言ってくれた」
go out for lunch with one's friends で「友達とランチに行っておいで」
「ショッピングに行っておいで」なら次のように言えます。
Why don't you go shopping with your mom and I'll take care of the kids for the afternoon?
「午後子どもたちを見てるから、お母さんと買い物に行っておいで」
Why don't you go shopping with your mom? で「お母さんと買い物に行ってきたらどう？・お母さんと買い物に行っておいで」
ご参考まで！
ご質問ありがとうございます。
・「You should go 〇〇.」
＝〇〇したらいいよ。
（例文）You should go hiking.
（訳）ハイキングしたらいいよ。
・「Why don't you go 〇〇?」
＝〇〇したら？
（例文）Why don't you go shopping?
（訳）ショッピング行ったら？
便利な単語：
have lunch with friends=友達とランチする
go shopping=ショッピングする
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
カナダ 
日本 
