Do you mind getting the car washed on your way back?
Can you run it through the car wash while you're out?
この場合、次のような言い方が自然で良いかと思います。
ーDo you mind getting the car washed on your way back?
「帰りに車洗っといてくれない?」
ーCan you run it through the car wash while you're out?
「出かけてるついでに洗車しといてくれる?」
ご参考まで!
「Oh, could you」 「あ、〜してもらえる?」という感じで、カジュアルでちょっとした依頼の始め方です。
「wash the car」 「車を洗う」という意味です。ここでは具体的に洗車してほしいことを示しています。
「while you're at it?」 「ついでに」という意味です。while you're at it は文字通り「そのついでに」という意味合いのカジュアルな表現になります。