今すぐにでもって英語でなんて言うの？

どの言語もそうなのですが、
表現が長くなればなるほど、「固い」とされ、
逆に短いものはより「気軽な」印象があります。

この場合、「as soon as possible」でも訳としては機能していますが、
少し固い（正式な）感じはしますね。

これはどちらかと言うと「なるべく早く」に近いかと思います。
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Can you write up the submission e-mail as soon as possible?
納品メールをなるべく早く書いて欲しい。
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「今すぐにでも」の場合、

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right away
right now
right this moment
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といった短いフレーズで十分かと思います。
早速使ってみましょう・・・

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今すぐにでも寝たい
I want to sleep right now.

今すぐにでも会いたい
I want to see you right away.

今すぐ旅行に出たい。
I wish I could go on vacation right this moment.
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「今すぐにでも行きたい！」というようなニュアンスの場合、口語表現では right now !　を付けて表現します。例えば、I want to go right now ! が一番よく使う表現だと思います。
この場合の right は、「ちょうどいい」、「ちょうど適切な」、「最も都合がいい」などの意味で使用しますので、「右」という意味ではありませんので注意しましょう！
はっきりと「すぐに！」と言いたい時は、immediately ! というと強く訴えかける表現になります。でも、言い方に注意しないとちょっとキツイ意味にとられることもありますが、ビジネスライクに表現すればスマートにも聞こえます。例えば、これから「今すぐ会議室に行きたい」と言う場合には、I want to go to the meeting room immediately. と言えます。
また、日常生活の中で、「今すぐにでも寝たい」というように、家族や友達に言う表現でしたら、I want to go to bed now !! と言って、 now !! を強調すると、「今すぐ！」と言う意味が相手にしっかりと伝わると思いますので、場面によって使い分けてみてください！

right away
今すぐに

immediately
今すぐに

as soon as possible
可能な限りはやく

right away は日常会話でよく使われるカジュアルな英語フレーズです。
immediately や as soon as possible は少しかたい感じもしますが、意味は問題なく通じます。

例：
I want to go to sleep right away.
私は今すぐに寝たいです。

お役に立てれば嬉しいです。
またいつでもご質問ください。

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば下記のような表現はいかがでしょうか：

・as soon as possible
可能な限り早く

・right away
今すぐ

例：
I want to go as soon as possible.
すぐにでも行きたい。

ぜひ参考にしてください。